Date of Award

4-2026

Document Type

Thesis

Degree Name

Master of Science in Mathematics

Department

Mathematical Sciences

First Advisor

Houssam Abdul-Rahman

Abstract

This thesis presents an analysis of transport in one-dimensional discrete-time quantum walks (DTQWs) on the Hilbert space ℓ²(ℤ) ⊗ ℂ². Quantum walks serve as fundamental models of coherent quantum transport and exhibit ballistic spreading driven by superposition and interference. The primary focus of this work is the review and derivation of sharp maximal velocity bounds for several classes of quantum walk step operators, including the shift-coin walk, the split-step walk, and models with constant as well as position-dependent coin operators. We establish general a priori bounds that remain valid beyond the translation-invariant regime. For homogeneous models, Fourier and spectral analysis yield explicit dispersion relations, allowing us to confirm the sharpness of the velocity bounds through precise group velocity formulas. In the presence of periodic electric fields, we demonstrate that translation invariance is restored after finitely many steps, leading to exact expressions for effective propagation velocities and revealing regimes of velocity suppression. The thesis further reviews the structural correspondence between split-step quantum walks and generalized extended CMV matrices, and introduces lifted operator representations on enlarged Hilbert spaces to provide a framework for future extensions. These results contribute to a unified mathematical understanding of quantum walk transport in both field-free and field-driven settings.

Arabic Abstract

النقل في نظام السير الكمي تحت تأثير مجال كهربائي

تهدف هذه الأطروحة إلى دراسة ظاهرة النقل في نظام السير الكمي ذي الزمن المتقطع في بعد واحد ( Discrete -Time Quantum Walks ) على فضاء هيلبرت ℓ²(ℤ)⊗ℂ² . يعدّ السير الكمي نموذجًا أساسيًا لوصف انتقال الجسيمات في الأنظمة الكمومية، حيث تتميّز بانتشار بالستي ناتج عن مبدأ التداخل بين الحالات. تركّز هذه الدراسة بصورة رئيسية على استعراض حدود للحدّ الأقصى لسرعة الانتشار لعدة أصناف من نماذج الخطوة في المسيرات الكمومية، ومنها سير الإزاحةالعملة ( Shift-Coin Walk )، وسير الخطوة المنقسمة ( Split-Step Walk )، بالإضافة إلى النماذج التي تحتوي على نماذج عملة ثابتة وأخرى تعتمد على الموقع. نقوم بإثبات حدود علوية للسرعة القصوى تبقى صحيحة حتى في الحالات التي لا تتمتع بخاصية عدم التغيّر تحت الإزاحة ( Translation Invariance ). وفي هذه النماذج يمكن استخدام تحويل فوريه والتحليل الطيفي لاستخلاص علاقات التشتت ( Dispersion Relations ) بشكل صريح، مما يسمح بإظهار دقة حدود السرعة من خلال تعابير صريحة للسرعة. كما ندرس تأثير المجالات الكهربائية الدورية، حيث نبيّن أن خاصية عدم التغيّر تحت الإزاحة تُستعاد بعد عدد من الخطوات، مما يؤدي إلى صيغ دقيقة للسرعات الفعالة للانتشار، ويكشف عن حالات يحدث فيها تثبيط ملحوظ للسرعة. وتستعرض الرسالة كذلك العلاقة بين نماذج الخطوة المنقسمة ومصفوفات CMV المتمدة المعمّمة ( Generalized Extended CMV Matrices )، كما تقدّم تمثيلات لنماذج مرفوعة على فضاءات هيلبرت أكبر لتوفير إطار مناسب للتوسعات المستقبلية. تسهم هذه النتائج في تقديم فهم رياضي موحّد لظاهرة النقل في المسيرات الكمومية، سواء في غياب المجالات الخارجية أو في وجود مجالات كهربائية دورية.

Download

Included in

Mathematics Commons

COinS