Date of Award

6-2026

Document Type

Thesis

Degree Name

Master of Science in Mathematics

Department

Mathematical Sciences

First Advisor

Dr. Ayham Zaitouny

Second Advisor

Dr. Arwa Baabdulla

Abstract

This thesis investigates the dynamics of a tumour–virus interaction model under sinusoidal periodic viral injection, using the three-compartment ordinary differential equation framework of Baabdulla and Hillen (2024). The aim is to characterise how the frequency and amplitude of periodic injection interact with the system's intrinsic oscillatory dynamics, and to identify conditions for stable frequency entrainment. Equilibrium and Hopf bifurcation analysis of the autonomous system yields a supercritical bifurcation at θ_H^auto ≈ 338.45 with intrinsic frequency Ω0auto ≈ 0.7552. Introducing a constant baseline injection u0 = 0.05 raises the threshold to θHforced ≈ 364.85 and shifts the intrinsic frequency to Ω0forced ≈ 1.2521, an increase of approximately 66%. Periodic forcing near Ω0forced produces resonance amplification of +6.1% under weak forcing and +24.6% under strong forcing, together with amplitude suppression of −4.7% and −16.2%, respectively, demonstrating the nonlinear character of the amplitude response. Arnold tongue mapping identifies a primary 1:1 entrainment region centered near Ω0forced, with onset numerically detected near ε ≈ 0.31 and maximum width ΔΩ ≈ 0.19, and a secondary 1:2 subharmonic region near 2Ω0forced ≈ 2.504. Floquet multiplier analysis provides strong numerical evidence for asymptotic stability of the entrained orbits within the primary tongue, with |μ_max| < 1 for the majority of sampled points. The numerically supported scheduling region Ω ∈ [1.18, 1.32] and ε ≳ 0.31 is identified for stable entrainment within the present framework. These results demonstrate that effective periodic injection timing must be calibrated to Ω0forced of the treated system, rather than the autonomous frequency Ω0auto, and provide a frequency-domain framework for rational periodic oncolytic virotherapy scheduling.

Arabic Abstract

التحكم والتزامن في الديناميكيات التذبذبية لنموذج الورم الفيروس تحت تأثير علاج دوري مفروض

تتناول هذه الرسالة دراسة ديناميكيات نموذج تفاعل الورم والفيروس تحت تأثير حقن فيروسي دوري جيبي، وذلك باستخدام إطار المعادلات التفاضلية العادية ثلاثي المكونات المقترح من قبل Baabdulla و Hillen (٢٠٢٤). تهدف الدراسة إلى توصيف كيفية تفاعل تردد وسعة الحقن الدوري مع الخصائص التذبذبية الذاتية للنظام، وتحديد الشروط اللازمة لتحقيق التزامن الترددي المستقر. تم تطبيق تحليل نقاط الاتزان وتفرع هوف على النظام الذاتي، حيث يحدث تفرع هوف فوق حرج عند θHauto ≈ 338.45 ، مع تردد ذاتي Ω0auto ≈ 0.7552 . وعند إدخال حقن أساسي ثابت بقيمة u0 = 0.05 ، يرتفع حد التفرع إلى θHforced ≈ 364.85 ، وينتقل التردد الذاتي إلى Ω0forced ≈ 1.2521 ، أي بزيادة تقارب 66% مقارنة بالحالة الذاتية. يؤدي التأثير الدوري بالقرب من Ω0forced إلى تضخيم في السعة بمقدار +6.1% في حالة التأثير الضعيف، و +24.6% في حالة التأثير القوي، بالإضافة إلى حدوث انخفاض في السعة بمقدار −4.7%− و −16.2%− على التوالي، مما يبرز الطبيعة غير الخطية لاستجابة السعة في النظام. تُظهر مخططات أرنولد وجود منطقتين للتزامن: منطقة رئيسية من النوع 1:1 متمركزة قرب Ω0forced ، يبدأ ظهورها عددياً عند ε ≈ 0.31 ، ويبلغ عرضها الأقصى ΔΩ ≈ 0.19 ، ومنطقة ثانوية من النوع 1:2 قرب 2Ω0forced ≈ 2.504 . لم يتم رصد تزامن من النوع 2:1 ضمن المجال المدروس، وهو ما يتوافق مع التقارب العددي بين 2Ω0auto ≈ 1.508 و Ω0forced ، مما يصعب تمييزه دون تأكيد إضافي باستخدام معاملات فلوقيه. يوفر تحليل معاملات فلوقيه دليلاً عددياً قوياً على الاستقرار التقاربي للحلول الدورية داخل منطقة التزامن 1:1 ، حيث يتحقق الشرط |μ_max| < 1 في معظم النقاط المدروسة عبر جميع قيم شدة التأثير. تتمثل إحدى النتائج الأساسية في تحديد انتقال ملحوظ من التردد الذاتي من Ω0auto إلى Ω0forced نتيجة إدخال الحقن الأساسي، إلى جانب تحديد مجال جدولة مدعوم عددياً يتمثل في Ω ∈ [1.18, 1.32] و ε ≳ 0.31 لتحقيق التزامن المستقر ضمن إطار النموذج. وتشير هذه النتائج إلى أن التوقيت الفعال للحقن الدوري يجب أن يُعايَر وفق ديناميكيات النظام المعالَج، وليس وفق خصائص النظام الذاتي. مفاهيم البحث الرئيسية: العلاج الفيروسي الحال للأورام؛ نموذج الورم والفيروس؛ التأثير الدوري؛ تفرع هوف؛ الرنين؛ التزامن الترددي؛ مخططات أرنولد؛ نظرية فلوقيه.

Download

Included in

Mathematics Commons

COinS