Date of Award

6-2026

Document Type

Thesis

Degree Name

Master of Science in Mathematics

Department

Mathematical Sciences

First Advisor

Qasem Al Mdallal

Abstract

This thesis studies the numerical approximation of nonlinear time-fractional partial differential equations using fractional Bernstein polynomials. The main model considered is the nonlinear time-fractional foam drainage equation, in which the classical time derivative is replaced by the Caputo fractional derivative. This formulation introduces memory effects into the model and allows the present drainage behavior to depend on the previous evolution of the liquid fraction.

The proposed method approximates the solution by a finite expansion of fractional Bernstein basis functions. After substituting this approximation into the governing equation, the residual is expanded in powers of t𝝳 . The unknown coefficient functions are then computed recursively by equating the coefficients of like powers to zero. This transforms the nonlinear fractional problem into a sequence of computable coefficient equations.

Several numerical examples are presented, including polynomial, cosine, and hyperbolictangent type initial conditions. The results show that the method preserves the main structure of the initial profiles and captures the qualitative behavior of the fractional foam drainage model. The influence of the fractional order 𝝳 is also observed: smaller values of 𝝳 produce stronger memory effects, while the solutions approach the classical integer order behavior as 𝝳 tends to one.

Residual checks, self-convergence comparisons, and a comparison with the L1 finite difference method are used to support the numerical results. These tests indicate that the fractional Bernstein polynomial method gives reliable approximations on the considered short-time intervals. However, the accuracy depends on the approximation degree, the smoothness of the initial condition, and the length of the time interval.

Overall, the method provides a practical and structured approach for approximating nonlinear time-fractional foam drainage models.

Arabic Abstract


تقريبات كثيرات حدود برنشتاين الكسرية للمعادلات التفاضلية الجزئية الزمنية الكسرية غير الخطية

تتناول هذه الرسالة التقريب العددي للمعادلات التفاضلية الجزئية غير الخطية ذات الرتبة الزمنية الكسرية باستخدام كثيرات حدود برنشتاين الكسرية. ويركز العمل بشكل أساسي على معادلة تصريف الرغوة الزمنية الكسرية غير الخطية، حيث يتم استبدال المشتقة الزمنية الكلاسيكية بمشتقة كابوتو الكسرية. وتسمح هذه الصياغة بإدخال تأثيرات الذاكرة في النموذج، بحيث يعتمد سلوك التصريف الحالي على التطور السابق لنسبة السائل داخل الرغوة. 

تعتمد الطريقة المقترحة على تقريب الحل باستخدام توسع حدود بدلالة دوال أساس برنشتاين الكسرية. وبعد تعويض هذا التقريب في المعادلة الحاكمة، يتم توسيع المتبقي بدلالة قوى t𝝳، ثم يتم حساب دوال المعاملات المجهولة بصورة تكرارية من خلال مساواة معاملات القوى المتشابهة بالصفر. وبهذه الطريقة، يتم تحويل معادلة السائل الكسرية غير الخطية إلى سلسلة من المعادلات القابلة للحساب.

ثم عرض عدة أمثلة عددية تشمل شروطاً ابتدائية متعددة، منها شرط كثير الحدود، وشرط جيب التمام، وشرط من نوع الظل الزائدي. وتبين النتائج أن الطريقة تحافظ على البنية العامة للشروط الابتدائية وتصف السلوك النوعي للحلول، كما توضح النتائج أن القيم الأصغر للرتبة الكسرية 𝝳 تعطي تأثير ذاكرة أقوى، بينما تقترب الحلول من السلوك الكلاسيكي عندما تقترب 𝝳 من الواحد الصحيح.

ولدعم النتائج الرسومية، تم استخدام فحوصات المتبقي ومقارنات التقارب الذاتي، إضافة إلى مقارنة مع طريقة الفروق المحددة من نوع ى1 في حالة شرط جيب التمام. وتشير هذه الفحوصات إلى أن طريقة كثيرات حدود برنشتاين الكسرية تعطي تقريبات موثوقة على الفترات الزمنية القصيرة المدروسة. ومع ذلك، فإن دقة الطريقة تعتمد على درجة التقريب، ونعومة الشرط الابتدائي، وطول الفترة الزمنية المستخدمة.

وبشكل عام، تشير النتائج إلى أن طريقة كثيرات حدود برنشتاين الكسرية تعد أسلوباً عملياً ومفيداً لدراسة نماذج تصريف الرغوة الزمنية الكسرية غير الخطية والمعادلات التفاضلية الجزئية الكسرية المشابهة.

Download

Included in

Mathematics Commons

COinS