Date of Award

5-2023

Document Type

Thesis

Degree Name

Master of Science in Mathematics

Department

Mathematical Sciences

First Advisor

Nafaa Chbili

Abstract

In this study, we established a connection between the Chebyshev polynomial of the first kind and the Jones polynomial of generalized weaving knots of type W(3,n,m).
Through our analysis, we demonstrated that the coefficients of the Jones polynomial of weaving knots are essentially the Whitney numbers of Lucas lattices which allowed us to find an explicit formula for the Alexander polynomial of weaving knots of typeW(3,n).
In addition to confirming Fox’s trapezoidal conjecture, we also discussed the zeroes of the Alexander Polynomial of weaving knots of type W(3,n) as they relate to Hoste’s conjecture. In addition, we computed the signatures for a family of alternating knots and established useful theorems about some properties related to trapezoidal polynomials. We used these findings to prove that for alternating knots obtained from the closure of two different classes of 4-braid knots they yield Alexander Polynomials which satisfy Fox’s trapezoidal conjecture.

Arabic Abstract

في هذه الرسالة، قمنا باكتشاف العلاقة بين متعةد حدود تشيبيشيف من النوع الأول ومتعدد حدود جونز لعقد النسيج المعمم من النوع W(3,n,m).. ومن خلال هذه العلاقة، تمكننا من البرهنة على أن معاملات متعدد حدود جونز لعقدة النسيج هي ساساً أعداد ويتني لشبكات لوكاس. وقد سمح لنا هذا بإيجاد صيغة صريحة لمتعدد حدود ألكسندر لعقدة النسيج من النوع W(3,n).. وبالإضافة إلى تأكيد صحة مخمنة شبه المنحرف فى هذه الحالة، فإننا أيضا قمنا باحتساب جذور متعدد حدود ألكسندر لعقد النسيج وبيّننا أنها تخضع لما يعرف بمخمنة Hoste. علاوة على ذلك، قمنا باحتساب تواقيع مجموعة من العقد المتناوبة وبرهننا بعض النظريات المتعلقة بمتعددات الحدود شبه المنحرفة. وقد قنا باستخدام هذه النتائج لإثبات أنه بالنسبة للعقد المتناوبة التي يتم الحصول عليها من ضفائر رباعية، فإن معاملات متعدد حدود ألكسندر تفي بشروط مخمنة شبه المنحرف لفوكس.

Download
COinS