Date of Award

4-2024

Document Type

Dissertation

Degree Name

Doctor of Philosophy in Mathematics

Department

Mathematical Sciences

First Advisor

Ahmed Al Rawashdeh

Abstract

H. Dye proved that the unitary group in a factor determines the algebraic type of that factor. Al-Rawashdeh, Booth and Giordano established that, for a large class of simple unital C*-algebras, an isomorphism between the unitary groups induces an isomorphism between their K0-ordered group and 1-groups. Then using the results of Dadarlat-Elliot-Gong and Kirchberg-Phillips, the C*-algebras are isomorphic. Dye introduced special projections Pi,j (a) of the matrix algebra Mn(A), and he used it as a main tool to establish his results in the case of von Neumann factors. Precisely, in case of von Neumann algebra, he proved that if θ is an orthoisomprhism which fixes all the Pi,j (a), then it is the identity mapping on the projections. We discuss these projections and we give more properties in the case of C*-matrix algebras. Using Dye’s approach, we prove that for a unital C*-algebra A, if θ is an orthoisomorphism on P(Mn (A)) which fixes the Pi,j (a), then θ fixes all the projections on class D, consisting of some decomposition of Pi,j (a). We introduce the invariant unitary groups property (IUG-P), the orthogonal IUG-P and the topological IUG-P. We investigate that some properties are IUG-P, orthogonal IUG-P or topological IUG-P, for certain C*-algebras. If the general linear groups (GL(A)) are isomorphic, we prove that the induced mapping between idempotents preserves the orthogonality, for a large class of unital C*-algebras, including certain type of UHF-algebras, 2-divisible K0-groups, Cuntz algebras On, 2 ≤ n ≤ ∞ and for simple unital purely infinite C*-algebras having 2-divisible K0- groups. We prove that if N is a normal subgroup of GL(On), then N contains all the symmetries of On. Also, we show that if N is any normal subgroup of unitary groups of compact operator K, which contains some certain type of involution, then N contains all the involutions of K.

Arabic Abstract


حول الإسقاطات والزمر الوحودية في جبريات C* ذات الوحدة

لقد أثبت هنري داي أن الزمر الوحودية في عامل فون نيومان تحدد النوع الجبري لذلك العامل. بالنسبة لفئة كبيرة من جبريات C* البسيطة ذات الوحدة فإن الروّاشدة، بوث و جيوردانو قد برهنوا أن التماثل بين الزمر الوحودية يقود إلى تماثل بين الزمر المرتبة K₀ و زمرها التبديلية K₁. باستخدام نتائج دادارلات- جونج-إليوت يتم إثبات أن الجبريات C* هي متماثلة. لقد قدم هنري داي بعض الإسقاطات الخاصة Pᵢⱼ(a) المهمة في جبريات المصفوفات Mₙ(A)، واستخدمها كأداة رئيسية لتحقيق نتائجه في حالة عوامل فون نيومان. على وجه الخصوص، في حالة جبريات فون نيومان، أثبت أنه إذا كان هناك تشاكل ويحافظ على التعامد بحيث أنه يثبت جميع الإسقاطات من نوع Pᵢⱼ(a)، فإنها تكون تماثلاً محايداً على جميع الإسقاطات بشكل عام. في هذه الأطروحة فإننا نناقش هذه الإسقاطات المميزة ونقدم المزيد من الخصائص في حالة جبريات مصفوفات C*. ثم باستخدام نهج داي، نثبت أنه في حالة جبريات C* ذات الوحدة A، إذا كان هناك تشاكل ويحافظ على التعامد في إسقاطات ℙ(Mₙ(A)) بحيث أنه يثبت الإسقاطات Pᵢⱼ(a)، فإن هذا التشاكل يثبت جميع الإسقاطات من الفئة 𝒟، والتي تتألف من بعض مركبات Pᵢⱼ(a). في هذه الأطروحة ندرس خاصية زمر الوحودية اللامتغيرة (IUG-P)، و زمر الوحودية اللامتغيرة المتعامدة وكذلك التوبولوجية في بعض جبريات C* ونحقق أن بعض الخصائص في جبريات معينة تكون هي خاصية زمر وحودية لامتغيرة، أو هي خاصية زمر وحودية لامتغيرة متعامدة، أو لا متغيرة توبولوجية. إذا كان هناك تشاكل بين زمرتين من العناصر ذات المعكوس في جبريات C*، فإننا نثبت أن التماثل الناتج بين مجموعتي العناصر الجامدة في كلا الجبريات يحافظ على التعامد، وذلك بالاعتماد على ما أثبته الروّاشدة لتعـامد التماثل بين الإسقاطات المنتج من التشاكل بين زمرتي الوحدة، ذلك تحديداً في جبريات UHF، أو جبريات ذات الزمر K₀ القابلة للقسمة على 2، أو جبريات كنتز Oₙ، أو جبريات C* البسيطة ذات الوحدة وذات الإسقاطات اللانهائية وذات الزمر K₀ القابلة للقسمة على 2. وكذلك نثبت أنه إذا كان N زمرة فرعية طبيعية من زمرة العناصر ذات المعكوس في جبريات كنتز والتي تحتوي على تناظر خاص فإن N تحتوي على جميع التناظرات. نبرهن أيضاً، أنه إذا كانت N هي زمرة فرعية طبيعية من زمرة الوحدة في جبريات المؤثرات المتراصة، على فضاء هيلبرت متتاليات مجموع المربعات (K) والتي تحتوي على نوع معين من الوحوديات ذات نفس المعكوس فإن N تحتوي على جميع الوحوديات ذات نفس المعكوس في (K).

Download

Included in

Mathematics Commons

Share

COinS