Date of Award

4-2023

Document Type

Dissertation

Degree Name

Doctor of Philosophy in Physics

Department

Physics

First Advisor

Usama Al Khawaja

Abstract

The investigation of a nonlinear differential equation (NLDE) integrability is the foundation for understanding and predicting the behavior of systems that are governed by that NLDE. The existence of a Lax pair (LP) representation is a reliable indicator of the indicator of the integrability of an NLDE. If an NLDE admits an LP, it is considered integrable in the LP sense, and this has important implications for the behavior and solutions of the system. The LP plays a crucial role in many powerful analytical solution methods for solving NLDEs. One such method is the Darboux transformation (DT), which allows for the derivation of a series of exact solutions. By using the LP representation, the DT can construct a new solution from a known solution, allowing for the systematic generation of families of solutions to the NLDE.

The nonlinear Schrödinger equation (NLSE) with external potentials describes many important physical systems. In the absence of external potentials, the NLSE is completely integrable, and a large number of its exact solutions are known. The presence of the potential renders the NLSE generally to a nonintegrable differential equation. Given the importance of the equation at hand, in this dissertation we consider three main streams. The first stream focuses on the analytical investigation of the NLSE’s integrability in the sense of the existence of LP and the search for new exact solutions, using existing, modified, and new solution methods.

The second stream focuses on the development of a high accuracy numerical method based on iterative power series approach, capable of providing the long-time evolution of solutions. The third stream involves numerical simulations to investigate the scattering of different solitons by reflectionless potentials such as the Pöschl-Teller potential, with emphasis on finding the spectrum of bound states. The results of this dissertation are significant contributions to the efforts made towards the NLDE integrability, exact solutions, soliton scatterings, and applications.

Our study yielded the following results:
1. Development of a method for calculating the Lax pairs spectral system for different variations of the NLSE.
2. Calculating new Lax pairs for different variations of the NLSE.
3. Calculating the complete spectral system for the dual NLSE.
4. Obtaining exact solutions from known solutions by using the Darboux transformation method to the dual NLSE.
5. Establishing a new superposition principle for the N-coupled NLSE.
6. Development of a high accuracy power series method for solving partial differential equations with emphasis on the NLSEs.
7. Establishing the necessary conditions for achieving soliton ejection and the controllability on the ejection speed value in terms of the potential and incident soliton parameters.
8. Proving the quantum reflection of dark solitons in two setups, in the presence of external potentials and in the presence of an x-dependent dispersion.
9. Calculating the critical speed for quantum reflection of the NLSE dark soliton by a reflectionless potential barrier.
10. Identifying a class of potentials for which the scattering of flat-top solitons and thin-top solitons of the NLSE with dual nonlinearity can be reflectionless.
11. Proving the resonant scattering and quantum reflection for the flattop and thin-top solitons in a similar manner as for the bright soliton scattering by a reflectionless Pöscl-Teller potential.
12. Obtaining the structure of bound-states spectrum for the Pöschl-Teller and square potential wells in the NLSE.

We believe this dissertation is a significant contribution to the efforts made towards the NLDE integrability, exact solutions, soliton scatterings, and applications.

Arabic Abstract

تعد دراسة قابلية تكامل المعادلات غير الخطية أساسا في فهم الأنظمة التي تصفها هذه العادلات والتنبؤ بسلوك ظواهر هذه الأنظمة. لربما أحد أهم الآليات التي تستخدم لدراسة قابلية التكامل هي قابلية التكامل من منظور لاكس. يلعب زوج لاكس دورا مهما في كثير من الآليات المهمة لحل المعادلات غير الخطية كألية داربوكس حيث أنه ينشأ عن هذه الآلية سلسلة من الحلول الصحيحة. تصنف معادلة شرودنجر غور االخطية تحت تأثر جهود خارجية مضافة كواحدة من أهم المعادلات التي تصف بنجاح الكثير من الظواهر الفيزيائية في مجالات عدة. ولقد أثبتت قابلية تكامل هذه المعادلة في حالة غياب تأثير الجهود الخارجية المضافة وتم التوصل إلى العديد من حلولها الصحيحة. تعد هذه المعادلة تحت تأثير جهود خارجية مضافة، بشكل عام غير قابلة للتكامل. ونظراً لأهمية هذه المعادلة، فإننا نركز في هذا الرسالة على ثلاثة محاور أساسية. نركز في الحور الأول من بحثنا إلى توضيح إشكالية قابلية تكامل شرودنجر غير الخطية تحت تأثير جهود خارجية مضافة من منظور زوج لاكس والتحقق مما إذا كان من الممكن التوصل لحلول صصيحة لها. نضمّن في هذا الحور استخدام الطرق التحليلية المتعارفة ومحاولة تحسينها لخدمة هذا النوع من المعادلات ما قد يدفعنا بنجاح إلى تطوير طرق تحليلية جديدة قد تساعدنا في التوصل إلى حلول صحيحة لم تكتشف بعد. في المحور الثاني لهذه الرسالة، نقوم بتطوير طرق تقريبية دقيقة جداً تزودنا بوصف دقيق لطبيعة تطور الحل الموجي مع الزمن. في المحور الثالث للرسالة، نوظف الطرق التقريبية في دراسة وتحليل التفاعلات بين الحلول السوليتونية وبينها وبين القوى الخارجية. من الجدير بالذكر، أن هذه الطرق ستتمكن من الكشف عن طيف الأطوار الملخضوعة للجهود الخارجية غير العكسية، على سبيل الثال، معامل بوشل تيلار غير العكسى. تعد هذه الرسالة مساهمة كبيرة فى الجهود المبذولة لدراسة قابلية تكامل المعادلات والحلول الصحيحة والتفاعلات السوليتونية حيث أنها أسفرت عن النتائج التالية:

‎1. تطوير طريقة جديدة لحساب زوج لاكس لصيغ مختلفة لمعادلة شرودنجر غير الخطية.
2. لتوصل لأزواج جديدة للاكس لصيغ مختلفة لمعادلة شرودنجر غير الخطية.
3. حساب نظام لاكس الكامل لمعادلة شرودنجر غير الخطية ذات القوى المزدوجة.
4. التوصل لحلول صحيحة لمعادلة شرودنجر غير الخطية ذات القوى المزدوجة باستخدام آلية داربوكس.
5. اثبات صحة تطبيق مبدأ التراكب لمعادلة شرودنجر غير الخطية الثنائية.
6. تطوير طريقة تقريبية دقيقة جدأ لوصف طبيعة تطور الحل الموجي مع الزمن.
7. التوصل للشروط الواجب توافرها للحصول على موجات سوليتونية مسرعة ناتجة عن تفاعلات سوليتونية مع معامل بوشل تيلارالمعدل.
8. التوصل للشروط الواجب توافرها لتحقيق تفاعلات كمية للموجات السوليتونية المظلمة.
9. حساب السرعات الحرجة للتفاعلات الكمية للموجات السوليتونية المظلمة.
10. التوصل لصياغة معاملات خارجية غيد عكسية للموجات السوليتونية المسطحة والمذبذبة.
‎11. اثبات إمكانية التفاعلات الكمية للموجات السوليتونية المسطحة والمذبذبة.
12. ‏الكشف عن طيف الأطوار الخضوعة لعامل بوشل تيلار غير العكسي.

‏ختاما، فإننا نؤمن بأن هذه الدراسة تعتبر إضافة ذات قيمة علمية عالية على الجهود المبذولة في دراسة قابلية التكامل للمعادلات غير الخطية وحلولها الصحيحة إضافةً إلى تطبيقاتها.

Download

Included in

Physics Commons

Share

COinS