Date of Award

6-2026

Document Type

Thesis

Degree Name

Master of Science in Mathematics

Department

Mathematical Sciences

First Advisor

Salem Ben Said

Abstract

In this thesis, we study analytical structures arising from Dunkl theory and their

applications to harmonic analysis and fractional Laplacian operators. Dunkl operators are differential–difference operators associated with finite reflection groups, providing a natural generalization of the classical Fourier analysis through the introduction of root systems and multiplicity functions. Within this framework, several classical transforms appear as special cases of the (k,a)-generalized Fourier transform. We study the generalized Fourier transform 𝓕ₖ,ₐ, its kernel Bk,a (x,y), and the associated translation operator and convolution structures. Using these tools, we construct the corresponding heat kernel and analyze the associated heat semigroup. Our main contribution concerns the study of fractional powers of Dunkl-type Laplacian (-Δk,a)σ, for 0 < σ < 1, associated with the (k,a)-generalized Fourier transform Fk,a. In particular, we focus on the case of arbitrary a >0, aiming to extend the previously studied case a = 1. Mainly, we will establish an extension method for arbitrary a that is analogous to the Ca!arelli–Silvestre characterization of the classical fractional Laplacian (-Δ)σ (the case k=0,a = 2). Further, we will revisit several representations of the fractional Dunkl-type Laplacian for the case a = 1, including a Bochner-type formula and a pointwise singular integral representation. These results extend classical fractional analysis to the Dunkl framework and provide new tools for the study of nonlocal operators associated with reflection groups.

Arabic Abstract


حول المؤثر الكسري من نوع لابلاس

في هذه الرسالة، ندرس البنى التحليلية الناشئة من نظرية دنكل وتطبيقاتها في التحليل التوافقي ومؤثرات لابلاس الكسرية. تُعد مؤثرات دنكل مؤثرات تفاضلية فروقية مرتبطة برمز الانعكاس المثبتة، فهي تُقدِّم تعميماً طبيعياً لتحليل فورييه المعتاد باستخدام تعاريف أنظمة الجذور ودوال التعددية. تحت هذه الشروط، نلاحظ وجود عدة تحويلات كلاسيكية كحالات خاصة من تحويل فورييه المعمم (k,a). نقوم بدراسة تحويل فورييه المعمم 𝓕ₖ,ₐ ونواته Bₖ,ₐ(x,y)، بالإضافة إلى مؤثر الترجمة والبنى الالتفافية المرتبطة به. باستخدام هذه الأدوات، نبني النواة الخاصة بالحرارة المقابلة ونُشكِّل شبه زمرة الحرارة المرتبطة بها. تتمثل المساهمة الرئيسية في هذه الرسالة في دراسة القوى الكسرية لمؤثر لابلاسيان من نوع دنكل (-Δk,a)σ،0 < σ < 1 المرتبط بالتحويل الفورييه المعمم 𝓕ₖ,ₐ، ونركز بشكل خاص على الحالة العامة للمعامل a>0، بهدف تعميم الحالة المدروسة سابقاً a=1. في هذا السياق، سوف نثبت طريقة امتداد مماثلة لامتداد كافاريلي وسيلفستر لمؤثر لابلاسيان الكسري الكلاسيكي σ (-Δ) للحالة العامة للمعامل a. بالإضافة، سنعيد النظر في عدد من التمثيلات للحالة الخاصة a=1 بما في ذلك صيغة من نوع بوخر، وتمثيل تكاملي نقطي ذو نواة مفردة. إن الهدف من هذه النتائج هو المساهمة في تعميم التحليل الكسري الكلاسيكي إلى إطار دنكل، كما أن هذا التعميم يقدم أدوات جديدة لدراسة المؤثرات غير المحلية المتعلقة برمز الانعكاس.

Download

Included in

Mathematics Commons

COinS