Date of Award

6-2025

Document Type

Thesis

Degree Name

Master of Science in Mathematics

Department

Mathematical Sciences

First Advisor

Dr. Mohamed Ali Hajji

Abstract

Wavelets have been widely used in many areas of engineering and mathematics, including the development of multistep algorithms to solve initial value problems (IVPs) in the context of the Galerkin method using Daubechies' wavelets. The main scope of our work is to build a comprehensive framework for solving Systems of Differential equations using the compactly supported wavelets proposed by I. Daubechies. Wavelets are mathematical functions that decompose data into distinct frequency components, and each element is analyzed with a resolution that matches its scale. Compact support of Daubechies wavelets is key in allowing them to be computationally efficient for high-dimensional problems. Finding the Inner products is difficult since Daubechies' wavelets lack precise equations, despite having a high approximation quality. This challenge can be addressed by considering the order of approximation of the wavelets to derive implicit multistep methods that have comparable stability properties to other methods. Numerical examples are given to verify the accuracy and efficiency of the proposed framework for solving systems of differential equations.

Arabic Abstract

طرق متعددة الخطوات لأنظمة المعادلات التفاضلية اعتمادا على المويجات

تم استخدام المويجات على نطاق واسع في العديد من مجالات الهندسة والرياضيات، بما في ذلك تطوير خوارزميات متعددة الخطوات لحل مشاكل القيمة الأولية في سياق طريقة جاليركين باستخدام مويجات دابوشي. النطاق الرئيسي لعملنا هو بناء إطار شامل لحل نظم المعادلات التفاضلية باستخدام المويجات المدعومة بشكل مدمج التي أنشأتها إينغريد دابوشي. هذه المويجات هي دوال رياضية تقسم البيانات إلى مكونات ترددية مختلفة، مما يتيح تحليل كل مكون بدقة متوافقة مع مقياسه. يجعل بناء دابوشي للمويجات المدعومة بشكل مدمج هذه المويجات فعالة حسابيًا في المشكلات عالية الأبعاد. على الرغم من خاصية التقريب الجيدة لهذه المويجات، فإنها لا تحتوي على صيغ صريحة، مما يجعل إيجاد النواتج الداخلية تحديًا. لكن نستطيع التغلب على هذا التحدي باستخدام ترتيب التقريب للمويجات لاشتقاق طرق متعددة الخطوات ضمنية ذات خاصية استقرار مماثلة للطرق الأخرى. يتم النظر في الأمثلة العددية للتحقق من دقة وكفاءة الإطار المقترح لحل نظم المعادلات التفاضلية.

Download

Included in

Mathematics Commons

COinS