https://doi.org/10.83048/qk6c-7w40">

Date of Award

4-2026

Document Type

Thesis

Degree Name

Master of Science in Mathematics

Department

Mathematical Sciences

First Advisor

Kanat Abdukhalikov

Abstract

This thesis investigates algebraic number fields and their rings of integers, which

generalize the ring of integers ℤ in ℚ. The study focuses on ideals, units, and ideal class

groups, which describe the arithmetic structure of number fields and the failure of unique factorization. Key invariants such as the norm, trace, and discriminant are developed and applied, with particular emphasis on quadratic number fields and classical examples such as the Gaussian and Eisenstein integers. Some explicit computations of ideal class groups are carried out. The thesis also explores connections with lattice theory by interpreting rings of integers as lattices and constructing higher-dimensional lattices using Kronecker products.

Arabic Abstract

المُثُل والشبكات في حقول الأعداد

تتناول هذه الأطروحة حقول الأعداد الجبرية وحلقات الأعداد الصحيحة الخاصة بها، والتي تُعمم حلقة الأعداد الصحيحة ℤ في ℚ. وتركز الدراسة على المثلث والوحدات ومجموعات فئات المثلث، التي تصف البنية الحسابية لحقول الأعداد وفشل التحليل الفريد. ويتم تطوير وتطبيق ثوابت أساسية مثل المعيار والأثر والمميز، مع التركيز بشكل خاص على حقول الأعداد التربيعية وأمثلة كلاسيكية مثل أعداد غاوس وأيزنشتاين. كما يتم إجراء بعض الحسابات الصحيحة لمجموعات فئات المثلث. وتستكشف الأطروحة أيضاً الروابط مع نظرية الشبكات من خلال تفسير حلقات الأعداد الصحيحة على أنها شبكات، وبناء شبكات متعددة الأبعاد باستخدام جداءات كرونكر.

Download
COinS