A SUPPORT THEOREM FOR A WAVE EQUATION

Author

Aysha Khaled Alshamsi, United Arab Emirates UniversityFollow

Date of Award

4-2023

Document Type

Thesis

Degree Name

Master of Science in Mathematics

Department

Mathematical Sciences

First Advisor

Salem Ben Said

Abstract

It is well known that the fundamental solution to the classical wave equation Δ𝑢 (𝑥, 𝑡) − ∂_𝑡𝑡𝑢(𝑥,𝑡) = 0 is supported on the light cone {(𝑥, 𝑡) ∈ ℝ^𝑛× ℝ : ||𝑥|| = |𝑡|} if and only if the dimension 𝑛 is odd and ≥ 3. Because we are living in a 3-dimensional world we can hear each other clearly; One has a pure propagator without residual waves. In this thesis we consider the wave equation

2||𝑥||Δ_𝑘𝑢_𝑘(𝑥, 𝑡) − ∂_𝑡𝑡𝑢(𝑥,𝑡) = 0, (𝑥, 𝑡) ∈ ℝ^𝑛 × ℝ

where Δ_𝑘is a second order differential and difference operator. First, we prove the existenceand the uniqueness of the solution 𝑢_𝑘(𝑥, 𝑡). Second, we search for the condition on the parameter 𝑘 and the dimension 𝑛 for the fundamental solution to be supported on the lightcone {(𝑥, 𝑡) ∈ ℝ^𝑛× ℝ : sqrt(2||𝑥||) = |𝑡|}. Our approach is based heavily on the representation theory of the Lie algebra 𝖘𝔩(2, ℝ), where we construct a new representation ω_𝑘 of 𝖘𝔩(2,ℝ) acting on the Schwartz space 𝑺(ℝ^𝑛). Finally, we prove that ω_𝑘 lifts to give raise to a unitary representation of a simply connected Lie group with Lie algebra 𝖘𝔩(2,ℝ).

Arabic Abstract

من العروف أن الحل الأساسي لمعادلة الموجة الكلاسيكية Δ𝑢 (𝑥, 𝑡) − ∂_𝑡𝑡𝑢(𝑥,𝑡) = 0 يتم دعمه على المخروط الضوئي {(𝑥, 𝑡) ∈ ℝ^𝑛× ℝ : ||𝑥|| = |𝑡|} إذا وفقط إذا كانت الأبعاد ‎ 𝑛 فردية وأكبر أو تساوي 3. لأننا نعيش في عالم ثلاثي الأبعاد، يمكننا سماع بعضنا البعض بوضوح. وبذلك يكون لدينا ناقل نقي بدون موجات باقية. فى هذه الأطروحة ندرس معادلة الموجة:

2||𝑥||Δ_𝑘𝑢_𝑘(𝑥, 𝑡) − ∂_𝑡𝑡𝑢(𝑥,𝑡) = 0, (𝑥, 𝑡) ∈ ℝ^𝑛 × ℝ

حيث Δ_𝑘 ‏هو عامل تفاضلي وفرقي من الدرجة الثانية. أولأ، نثبت وجود وفردية الحل‎ 𝑢_𝑘(𝑥, 𝑡). ‏ثانياً‎ نبحث عن الشرط على المعامل 𝑘 والأبعاد 𝑛 لدعم الحل الأساسي على المخروط الضوئي‎ {(𝑥, 𝑡) ∈ ℝ^𝑛× ℝ : sqrt(2||𝑥||) = |𝑡|}. ‏يعتمد نهجنا بشكل كبير على نظرية التمثيل لجبر لي‎ّ𝖘𝔩(2,ℝ) حيث نقوم ببناء تمثيلا جديدا‎ ω_𝑘 لـ 𝖘𝔩(2,ℝ) ‏يعمل على الفضاء الشوارزي 𝑺(ℝ^𝑛) أخيرا، نثبت أن ω_𝑘 ‏تتكامل لتعطي تمثيلاً موحداً لمجموعة لي بسيطة ذات جبر لي 𝖘𝔩(2,ℝ).

Recommended Citation

Alshamsi, Aysha Khaled, "A SUPPORT THEOREM FOR A WAVE EQUATION" (2023). Theses. 1073.
https://scholarworks.uaeu.ac.ae/all_theses/1073