Date of Award
4-2023
Document Type
Thesis
Degree Name
Master of Science in Mathematics
Department
Mathematical Sciences
First Advisor
Salem Ben Said
Abstract
It is well known that the fundamental solution to the classical wave equation Δ�� (��, ��) − ∂������(��,��) = 0 is supported on the light cone {(��, ��) ∈ ℝ��× ℝ : ||��|| = |��|} if and only if the dimension �� is odd and ≥ 3. Because we are living in a 3-dimensional world we can hear each other clearly; One has a pure propagator without residual waves. In this thesis we consider the wave equation
2||��||Δ������(��, ��) − ∂������(��,��) = 0, (��, ��) ∈ ℝ�� × ℝ
where Δ��is a second order differential and difference operator. First, we prove the existenceand the uniqueness of the solution ����(��, ��). Second, we search for the condition on the parameter �� and the dimension �� for the fundamental solution to be supported on the lightcone {(��, ��) ∈ ℝ��× ℝ : sqrt(2||��||) = |��|}. Our approach is based heavily on the representation theory of the Lie algebra ����(2, ℝ), where we construct a new representation ω�� of ����(2,ℝ) acting on the Schwartz space ��(ℝ��). Finally, we prove that ω�� lifts to give raise to a unitary representation of a simply connected Lie group with Lie algebra ����(2,ℝ).
Arabic Abstract
من العروف أن الحل الأساسي لمعادلة الموجة الكلاسيكية Δ�� (��, ��) − ∂������(��,��) = 0 يتم دعمه على المخروط الضوئي {(��, ��) ∈ ℝ��× ℝ : ||��|| = |��|} إذا وفقط إذا كانت الأبعاد �� فردية وأكبر أو تساوي 3. لأننا نعيش في عالم ثلاثي الأبعاد، يمكننا سماع بعضنا البعض بوضوح. وبذلك يكون لدينا ناقل نقي بدون موجات باقية. فى هذه الأطروحة ندرس معادلة الموجة:
2||��||Δ������(��, ��) − ∂������(��,��) = 0, (��, ��) ∈ ℝ�� × ℝ
حيث Δ�� هو عامل تفاضلي وفرقي من الدرجة الثانية. أولأ، نثبت وجود وفردية الحل ����(��, ��). ثانياً نبحث عن الشرط على المعامل �� والأبعاد �� لدعم الحل الأساسي على المخروط الضوئي {(��, ��) ∈ ℝ��× ℝ : sqrt(2||��||) = |��|}. يعتمد نهجنا بشكل كبير على نظرية التمثيل لجبر ليّ����(2,ℝ) حيث نقوم ببناء تمثيلا جديدا ω�� لـ ����(2,ℝ) يعمل على الفضاء الشوارزي ��(ℝ��) أخيرا، نثبت أن ω�� تتكامل لتعطي تمثيلاً موحداً لمجموعة لي بسيطة ذات جبر لي ����(2,ℝ).
Recommended Citation
Alshamsi, Aysha Khaled, "A SUPPORT THEOREM FOR A WAVE EQUATION" (2023). Theses. 1073.
https://scholarworks.uaeu.ac.ae/all_theses/1073