Date of Award

4-2026

Document Type

Dissertation

Degree Name

Doctor of Philosophy in Physics

Department

Physics

First Advisor

Qasem Al Mdallal

Abstract

This dissertation is about the application of the Tridiagonal Representation Approach (TRA) in handling linear phenomenons, and for the first time, the J-matrix method of scattering in handling nonlinear phenomenons. The TRA is an algebraic method for solving linear ordinary differential equations of the second order. The advantage of the method in being algebraic is reinforced by the analytic power of orthogonal polynomials and special functions. On the computational side, it is favored as being reliant on powerful numerical techniques that deal with tridiagonal matrices such as Gauss quadrature and continued fraction. In the method, the solution of the differential equation (e.g., Schrödinger equation) is written as a convergent series (finite or infinite) in terms of a complete set of square integrable functions (basis). This set is chosen such that the matrix representation of the differential operator is tridiagonal. Consequently, the differential equation becomes a three-term recursion relation for the expansion coefficients of the series. The recursion is then solved in terms of orthogonal polynomials in the space of parameters of the differential equation (e.g., the energy and potential parameters). If the differential equation is the equation of motion in physics, then all physical properties of the solution (e.g., energy spectrum, scattering phase shift, density of states, etc.) are obtained from the properties of these polynomials (e.g., their weight function, generating function, zeros, asymptotics, etc.). On the other hand, the J-matrix (Jacobi-matrix) theory of scattering is also an algebraic method which exploits the fact that the unperturbed (reference) Hamiltonian can be diagonalized in a certain complete set of square integrable basis functions. This basis set is chosen such that the matrix representation of the reference Hamiltonian is tridiagonal. This requirement results in a three-term recurrence relation for the expansion coefficient of the wavefunction associated with the reference Hamiltonian; and hence establishes a strong relationship between the solution of the reference problem and the corresponding orthogonal polynomials. This also allows for an exact analytic diagonalization of the reference Hamiltonian and expresses the wavefunction of the reference problem as an infinite convergent series with expansion coefficients that are written in terms of orthogonal polynomials. The scattering potential is assumed to be non –singular and short-range. Hence its representation can be truncated in a finite subset of the basis set. The accuracy of the computations can be improved and the errors can be made small by (1) a proper choice of value for the scaling parameter in the basis and (2) enlarging the size of the basis set used in the truncated space where the potential is evaluated. Hence, the J-matrix differs from the algebraic variational theories in that the reference part of the Hamiltonian is accounted for in full and treated analytically whereas only the short-range scattering potential is approximated in a well-defined and controllable manner. This linear J matrix method has been used extensively in relativistic and nonrelativistic scattering problems in atomic, molecular, and nuclear physics for decades with interesting results. Now, as further application, in chapter 3, we used the TRA to obtain new confined linear systems with a linear energy spectrum. We provided multiple 1D examples and one 3D example to demonstrate the process. We plotted a few wavefunctions of the lowest energy bound states in addition to providing a graphical depiction of the potential function for each confined system. In chapter 4, we treat the inverse problem where for a given choice of the energy spectrum formula E(z²) and a particular collection of basis functions in configuration space {φₙ(x)}, we provide a general technique for constructing a class of quantum systems associated with the three-parameter continuous dual Hahn orthogonal polynomials Sₙᵘ(z²;a,b). The energy spectrum, the scattering phase shift, and the wavefunction are obtained analytically. However, the corresponding potential function can only be derived numerically and locally for a given set of physical parameters. By choosing the energy as a special function of the polynomial argument E(z²) in chapter 5 and 6 and for the first time in the published literature, we introduce a nonlinear extension of the J-matrix method of scattering. This formulation relies heavily on the linearization formulas for products of orthogonal polynomials. The nonlinear J matrix method (semi analytic) was presented to handle nonlinear Schrodinger equation using a simple toy model in chapter 5 whereas in chapter 6, a perturbative formulation of nonlinear J matrix method in 2D for the NLSE. All results obtained in all cases are new and interesting and they have been published. In the future, as a further research plan, we intend to develop the nonlinear tridiagonal representation approach and the time-dependent tridiagonal representation approach.

Arabic Abstract

التشتت في الفيزياء النظري J، تطبيق نهج التمثيل الثلاثي الأقطار وطريقة مصفوفة

تتناول هذه الأطروحة تطبيق منهج التمثيل الثلاثي (TRA) في معالجة الظواهر الخطية، وللمرة الأولى، استخدام طريقة مصفوفة جاكوبي للتشتت في معالجة الظواهر غير الخطية. يُعد منهج التمثيل الثلاثي (TRA) طريقة جبرية لحل المعادلات التفاضلية العادية الخطية من الرتبة الثانية. وتتعزز ميزة هذه الطريقة لكونها جبرية بالقوة التحليلية لـ متعددات الحدود المتعامدة والدوال الخاصة. ومن الناحية الحسابية، تُفضل هذه الطريقة لاعتمادها على تقنيات عددية قوية تتعامل مع المصفوفات الثلاثية، مثل "تربيع غاوس" والكسور المستمرة.

في هذه الطريقة، يُكتب حل المعادلة التفاضلية (على سبيل المثال، معادلة شرودنغر) كمتسلسلة متقاربة (منتهية أو غير منتهية) بدلالة مجموعة كاملة من الدوال القابلة للتكامل التربيعي (دوال القاعدة). يتم اختيار هذه المجموعة بحيث يكون التمثيل المصفوفي للمؤثر التفاضلي الثلاثي. ونتيجة لذلك، تتحول المعادلة التفاضلية إلى علاقة تكرار ثلاثية الحدود لمعاملات توسيع المتسلسلة. ثم يتم حل هذا التكرار بدلالة متعددات الحدود المتعامدة في فضاء بارامترات المعادلة التفاضلية (مثل الطاقة وبارامترات الجهد). وإذا كانت المعادلة التفاضلية هي معادلة الحركة في الفيزياء، فإنه يتم الحصول على جميع الخصائص الفيزيائية للحل (مثل طيف الطاقة، وإزاحة طور التشتت، وكثافة الحالات، وغيرها) من خصائص هذه الحدوديات (مثل دالة الوزن، والدالة المولدة، والأصفار، والسلوك المقاربي، وغيرها).

من ناحية أخرى، تُعد نظرية مصفوفة جاكوبي للتشتت أيضاً طريقة جبرية تستغل حقيقة أن هاملتونيان المرجع (غير المضطرب) يمكن تحويله إلى مصفوفة قطرية ضمن مجموعة كاملة معينة من دوال القاعدة القابلة للتكامل التربيعي. يتم اختيار مجموعة القاعدة هذه بحيث يكون التمثيل المصفوفي لهاملتونيان المرجع ثلاثي التمثيل. ويؤدي هذا الشرط إلى علاقة تكرار ثلاثية الحدود لمعامل التوسيع للدالة الموجية المرتبطة بهاملتونيان المرجع؛ مما يؤسس علاقة قوية بين حل مشكلة المرجع ومتعددات الحدود المتعامدة المقابلة. كما يسمح ذلك بإجراء تحويل قطري تحليلي دقيق لهاملتونيان المرجع، والتعبير عن الدالة الموجية لمشكلة المرجع كمتسلسلة متقاربة لانهائية بمعاملات توسيع تُكتب بدلالة متعددات الحدود المتعامدة.

يُفترض أن جهد التشتت غير منفرد وقصير المدى، وبالتالي يمكن اقتطاع تمثيله في مجموعة فرعية منتهية من مجموعة القاعدة. ويمكن تحسين دقة الحسابات وتقليل الأخطاء عبر: (1) الاختيار المناسب لقيمة بارامتر القياس في القاعدة، و(2) توسيع حجم مجموعة القاعدة المستخدمة في الفضاء المقتطع حيث يتم تقييم الجهد. وبناءً على ذلك، تختلف مصفوفة جاكوبي عن نظريات التغير الجبرية في أن جزء المرجع من الهاملتونيان يتم أخذه في الاعتبار بالكامل ومعالجته تحليلياً، بينما يتم تقريب جهد التشتت قصير المدى فقط بطريقة محددة بدقة وقابلة للتحكم. وقد استُخدمت طريقة مصفوفة جاكوبي الخطية هذه على نطاق واسع في مشكلات التشتت النسبية وغير النسبية في الفيزياء الذرية والجزيئية والنووية لعقود من الزمن بنتائج مثيرة للاهتمام.

وتطبيقاً لمزيد من البحوث، استخدمنا في الفصل الثالث منهج (TRA) للحصول على أنظمة خطية محصورة جديدة ذات طيف طاقة خطي. وقد قدمنا أمثلة متعددة أحادية الأبعاد ومثالاً واحداً ثلاثي الأبعاد لتوضيح العملية، كما قمنا برسم بياني لبعض الدوال الموجية لحالات الترابط ذات الطاقة الأدنى، بالإضافة إلى تقديم تصوير بياني لدالة الجهد لكل نظام محصور.

في الفصل الرابع، نعالج المشكلة العكسية؛ حيث نقدم تقنية عامة لبناء فئة من الأنظمة الكمومية المرتبطة بمتعددات حدود "هان" الثنائية المستمرة ذات البارامترات الثلاثة، وذلك لاختيار محدد لصيغة طيف الطاقة ومجموعة معينة من دوال القاعدة في فضاء التشكيل. ويتم الحصول على طيف الطاقة، وإزاحة طور التشتت، والدالة الموجية تحليلياً، ومع ذلك، لا يمكن اشتقاق دالة الجهد المقابلة إلا عددياً ومحلياً لمجموعة معينة من البارامترات الفيزيائية.

من خلال اختيار الطاقة كدالة خاصة لمتغير متعددات الحدود في الفصلين الخامس والسادس، وللمرة الأولى في الأدبيات المنشورة، نقدم امتداداً غير خطي لطريقة مصفوفة جاكوبي للتشتت. تعتمد هذه الصيغة بشكل كبير على صيغ الخطية لنواتج متعددات الحدود المتعامدة. قُدمت طريقة مصفوفة جاكوبي غير الخطية (شبه التحليلية) للتعامل مع معادلة شرودنغر غير الخطية باستخدام نموذج مبسط في الفصل الخامس، بينما يتناول الفصل السادس صيغة اضطرابية لطريقة مصفوفة جاكوبي غير الخطية في بُعدين لمعادلة شرودنغر غير الخطية (NLSE).

جميع النتائج التي تم الحصول عليها في كافة الحالات جديدة ومثيرة للاهتمام وقد تم نشرها. وفي المستقبل، كخطة بحثية إضافية، نعتزم تطوير منهج التمثيل الثلاثي غير الخطي ومنهج التمثيل الثلاثي المعتمد على الزمن.

Download

Included in

Physics Commons

Share

COinS