Date of Award

11-2025

Document Type

Dissertation

Degree Name

Doctor of Philosophy in Mathematics

Department

Mathematical Sciences

First Advisor

Nafaa Chbili

Abstract

Spectral graph theory is a subfield of algebraic graph theory that studies the matrices associated with graphs. It lives at the nexus of Linear Algebra and Combinatorics. Many intriguing results in the domains of Matrix Theory and Combinatorics have come from studying the eigenvalues of graph matrices; in fact, several open problems in both areas have been resolved. Beyond its theoretical appeal, spectral graph theory has found meaningful applications in theoretical chemistry, particularly in the mathematical classification of chemical graphs. These classifications underpin quantitative structure–property relationships (QSPRs), facilitating the prediction of physicochemical properties such as enthalpy of vaporization, molar refractivity, and boiling point. Adjacency matrix, inverse sum index (ISI) matrix, Sombor matrix, Distance matrix and other similar degree/distance-based topological matrices are among the many matrices that can be linked to graphs.

Let G be a graph of order n with vertex set {v₁, v₂, …, vₙ}, and let dᵢ denote the degree of vertex vᵢ. The inverse sum index matrix A_ISI of G is defined such that its (i, j)-entry is dᵢdⱼ/(dᵢ + dⱼ) if vᵢ is adjacent to vⱼ, and 0 otherwise. The Sombor matrix S(G) is defined similarly, with its (i, j)-entry equal to √(dᵢ² + dⱼ²) when vᵢ and vⱼ are adjacent, and 0 otherwise. The distance matrix D(G) = (d_{vᵢvⱼ}) of G is indexed by the vertices of G, where each entry d_{vᵢvⱼ} represents the shortest path length (distance) between the vertices vᵢ and vⱼ. This dissertation focuses on the spectral properties of the ISI matrix, the Sombor matrix, and the distance matrix. In particular, we address problems involving the characterization of extremal graphs with respect to their spectral radius (i.e., the largest eigenvalue). We identify graphs that attain the maximum and minimum trace norm (also referred to as graph energy, defined as the sum of the absolute values of eigenvalues) among a given family of graphs. Due to the complexity of classifying such matrices, we also explore the distribution of eigenvalues, including the characterization of graphs having exactly two or three distinct eigenvalues. Additionally, we perform a detailed analysis of the ISI index for q-broom-like graphs. We also derive bounds for the Sombor and ISI indices in terms of graph invariants such as maximum degree, minimum degree, order, and size for several standard graph operations, including the corona product, Cartesian product, strong product, composition, and join of graphs. An important direction in spectral graph theory involves the interplay between algebraic structures and graph-theoretic representations. An example of this may be found in the zero-divisor graph of a commutative ring R with unity (1 ≠ 0). We compute the distance spectra of zero-divisor graphs corresponding to the commutative rings ℤₙ [x]/⟨x⁴⟩ (n is any prime), ℤ₂ [x]/⟨x²⟩ (t ≥ 3 any prime) and Fₜ + uFₜ + u²Fₜ (t is an odd prime), with ℤₙ denoting the ring of integers modulo n, and Fₜ denoting the finite field on t elements. For these graphs, we establish sharp bounds on their distance energy. Lastly, we also discuss the statistical analysis of the ISI index and the ISI energy in relation to the physicochemical properties of chemical compounds. Specifically, we examine correlations with experimental attributes such as molar refractivity, molar volume, boiling point, flash point, and molar weight, thereby highlighting the utility of spectral indices in chemical graph theory.

Arabic Abstract

مسائل في نظرية الرسم البياني الحدية ونظرية الرسم البياني الطيفية

نظرية الطيف البياني هي فرع من فروع نظرية الرسوم الجبرية، تهتم بدراسة المصفوفات المرتبطة بالرسوم البيانية. وتقع هذه النظرية عند تقاطع الجبر الخطي والتوافقيات. لقد تم التوصل إلى العديد من النتائج المهمة في مجالي نظرية المصفوفات والتوافقيات من خلال دراسة القيم الذاتية لمصفوفات الرسوم البيانية؛ إذ تم حل العديد من المسائل المفتوحة في كلا المجالين. وعلاوة على قيمتها النظرية، فقد وجدت نظرية الطيف البياني تطبيقات هامة في مجال الكيمياء النظرية، وخاصة في التصنيف الرياضي للرسوم الكيميائية. وتشكل هذه التصنيفات أساس العلاقات الكمية بين البنية والخواص (QSPRs)، مما يسهل التنبؤ بالخواص الفيزيائية والكيميائية مثل حرارة التبخر، والانكسار المولي، ونقطة الغليان. ومن بين المصفوفات العديدة التي يمكن ربطها بالرسوم البيانية مصفوفة التجاور، ومصفوفة الدرجة العكسية المجزأة (ISI)، ومصفوفة سومبور، ومصفوفة المسافة، وغيرها من المصفوفات الطوبولوجية المعتمدة على الدرجة أو المسافة.

لنفترض أن G رسم بياني من الرتبة n وله مجموعة رؤوس {v₁, v₂, …, vₙ}، ولتكن dᵢ درجة الرأس vᵢ. تُعرَّف مصفوفة الدرجة العكسية المجزأة A_ISI(G) حيث يكون عنصرها (i, j) مساويًا لـ dᵢdⱼ / (dᵢ + dⱼ) إذا كان vᵢ متجاورًا مع vⱼ، ويساوي صفرًا خلاف ذلك. أما مصفوفة سومبور S(G) فتُعرَّف بشكل مشابه، حيث يكون عنصرها (i, j) مساويًا للجذر التربيعي √(dᵢ² + dⱼ²) عندما يكون vᵢ و vⱼ متجاورين، وصفرًا خلاف ذلك. بينما تُعرَّف مصفوفة المسافة D(G) = (dᵥᵢᵥⱼ) حيث تمثل كل قيمة dᵥᵢᵥⱼ أقصر طول مسار (أي المسافة) بين الرأسين vᵢ و vⱼ. تركز هذه الأطروحة على الخصائص الطيفية لمصفوفات ISI، وسومبور، والمسافة. وعلى وجه الخصوص، نتناول مشكلات تتعلق بوصف الرسوم البيانية القصوى من حيث نصف قطرها الطيفي (أي أكبر قيمة ذاتية)، ونحدد الرسوم البيانية التي تحقق القيم العظمى والصغرى لمعيار الأثر (أو ما يسمى بطاقة الرسم البياني، وهو مجموع القيم المطلقة للقيم الذاتية) ضمن عائلة معينة من الرسوم البيانية. ونظرًا لتعقيد تصنيف مثل هذه المصفوفات، نستكشف أيضًا توزيع القيم الذاتية، بما في ذلك توصيف الرسوم البيانية التي تمتلك قيمتين أو ثلاث قيم ذاتية متميزة. إضافة إلى ذلك، نقوم بتحليل مفصل لمؤشر ISI للرسوم البيانية الشبيهة بالمكنسة (q-broom-like graphs). كما نشتق حدودًا لمؤشري سومبور وISI بدلالة ثوابت الرسم البياني مثل الدرجة العظمى، والدرجة الصغرى، والرتبة، والحجم، وذلك لعدة عمليات قياسية على الرسوم البيانية، بما في ذلك حاصل الضرب الإكليلي، وحاصل الضرب الديكارتي، وحاصل الضرب القوي، والتركيب، ووصلة الرسوم البيانية. ومن الاتجاهات المهمة في نظرية الطيف البياني التفاعل بين البنى الجبرية والتمثيلات البيانية. ويمكن إيجاد مثال على ذلك في رسم القواسم الصفرية لحلقة تبادلية R ذات وحدة (1 ≠ 0). نقوم بحساب الطيف المسافي لرسوم القواسم الصفرية المقابلة للحلقات التبادلية ℤₙ[x]/⟨x⁴⟩ (حيث n عدد أولي)، و ℤ₂[x]/⟨x²⟩ (حيث t ≥ 3 عدد أولي)، و Fₜ + uFₜ + u²Fₜ (حيث t عدد أولي فردي)، حيث ترمز ℤₙ إلى حلقة الأعداد الصحيحة بترديد n، و Fₜ إلى الحقل المنتهي ذي t عنصرًا. ولهذه الرسوم، نثبت حدودًا حادة لطاقة المسافة الخاصة بها. وأخيرًا، حدودًا لمؤشري سومبور و ISI من حيث ثوابت الرسم البياني مثل الدرجة العظمى، والدرجة الصغرى، والترتيب، والحجم لعدد من العمليات القياسية على الرسوم البيانية، بما في ذلك حاصل الإكليل(corona product) ، والضرب الديكارتي، والضرب القوي، والتركيب، والانضمام. ومن الاتجاهات المهمة في نظرية الطيف البياني دراسة العلاقة بين البنى الجبرية والتمثيلات البيانية. ومن أمثلة ذلك الرسم البياني لقواسم الصفر(zero-divisor graph) للحلقة التبادلية R ذات الوحدة. نحسب الأطياف المسافية(distance spectra) للرسوم البيانية لقواسم الصفر للحلقات التبادلية ℤₜ[x]/⟨x⁴⟩ حيث t عدد أولي، و ℤ₂[x]/⟨x²⟩ حيث t ≥ 3 عدد أولي، و Fₜ + uFₜ + u²Fₜ حيث t عدد أولي فردي، تمثل ℤₜ هنا حلقة الأعداد الصحيحة بترديد t، بينما تمثل Fₜ الحقل المنتهي الذي يحتوي على t عناصر. وبالنسبة لهذه الرسوم البيانية، نثبت حدودًا دقيقة لطاقة المسافة الخاصة بها. وأخيرًا، نناقش التحليل الإحصائي لمؤشر ISI وطاقة ISI فيما يتعلق بالخواص الفيزيائية والكيميائية للمركبات الكيميائية. على وجه الخصوص، ندرس الارتباطات مع الصفات التجريبية مثل الانكسار الجزيئي، والحجم الجزيئي، ونقطة الغليان، ونقطة الوميض، والوزن الجزيئي، مما يبرز فائدة المؤثرات الطيفية في نظرية الرسم الكيميائي.

Download

Included in

Mathematics Commons

Share

COinS