Date of Award


Document Type


Degree Name

Doctor of Philosophy (PhD)


Mathematical Sciences

First Advisor

Professor Fathalla Ali. Rihan


Mathematical modeling with delay differential equations (DDEs) is widely used for analysis and predictions in various areas of life sciences, such as population dynamics, epidemiology, immunology, physiology, and neural networks. The memory or time-delays, in these models, are related to the duration of certain hidden processes like the stages of the life cycle, the time between infection of a cell and the production of new viruses, the duration of the infectious period, the immune period, and so on. In ordinary differential equations (ODEs), the unknown state and its derivatives are evaluated at the same time instant. In DDEs, however, the evolution of the system at a certain time instant depends on the past history/memory. Introduction of such time-delays in a differential model significantly improves the dynamics of the model and enriches the complexity of the system.

Moreover, natural phenomena counter an environmental noise and usually do not follow deterministic laws strictly but oscillate randomly about some average values, so that the population density never attains a fixed value with the advancement of time. Accordingly, stochastic delay differential equations (SDDEs) models play a prominent role in many application areas including biology, epidemiology and population dynamics, mostly because they can offer a more sophisticated insight through physical phenomena than their deterministic counterparts do. The SDDEs can be regarded as a generalization of stochastic differential equations (SDEs) and DDEs.

This dissertation, consists of eight Chapters, is concerned with qualitative and quantitative features of deterministic and stochastic delay differential equations with applications in ecology and epidemics. The local and global stabilities of the steady states and Hopf bifurcations with respect of interesting parameters of such models are investigated. The impact of incorporating time-delays and random noise in such class of differential equations for different types of predator-prey systems and infectious diseases is studied. Numerical simulations, using suitable and reliable numerical schemes, are provided to show the effectiveness of the obtained theoretical results.

Chapter 1 provides a brief overview about the topic and shows significance of the study. Chapter 2, is devoted to investigate the qualitative behaviours (through local and global stability of the steady states) of DDEs with predator-prey systems in case of hunting cooperation on predators. Chapter 3 deals with the dynamics of DDEs, of multiple time-delays, of two-prey one-predator system, where the growth of both preys populations subject to Allee effects, with a direct competition between the two-prey species having a common predator. A Lyapunov functional is deducted to investigate the global stability of positive interior equilibrium. Chapter 4, studies the dynamics of stochastic DDEs for predator-prey system with hunting cooperation in predators. Existence and uniqueness of global positive solution and stochastically ultimate boundedness are investigated. Some sufficient conditions for persistence and extinction, using Lyapunov functional, are obtained. Chapter 5 is devoted to investigate Stochastic DDEs of three-species predator prey system with cooperation among prey species. Sufficient conditions of existence and uniqueness of an ergodic stationary distribution of the positive solution to the model are established, by constructing a suitable Lyapunov functional. Chapter 6 deals with stochastic epidemic SIRC model with time-delay for spread of COVID-19 among population. The basic reproduction number ℛs0 for the stochastic model which is smaller than ℛ0 of the corresponding deterministic model is deduced. Sufficient conditions that guarantee the existence of a unique ergodic stationary distribution, using the stochastic Lyapunov functional, and conditions for the extinction of the disease are obtained. In Chapter 7, some numerical schemes for SDDEs are discussed. Convergence and consistency of such schemes are investigated. Chapter 8 summaries the main finding and future directions of research.

The main findings, theoretically and numerically, show that time-delays and random noise have a significant impact in the dynamics of ecological and biological systems. They also have an important role in ecological balance and environmental stability of living organisms. A small scale of white noise can promote the survival of population; While large noises can lead to extinction of the population, this would not happen in the deterministic systems without noises. Also, white noise plays an important part in controlling the spread of the disease; When the white noise is relatively large, the infectious diseases will become extinct; Re-infection and periodic outbreaks can also occur due to the time-delay in the transmission terms.

Arabic Abstract

تستخدم المعادلات التفاضلية ذات الذاكرة (Delay Differential Equations, DDE) على نطاق واسع في النمذجة الرياضية (Mathematical Modeling) والتنبؤات في مختلف مجالات علوم الحياة، على سبيل المثال ديناميكيات السكان (Dynamical Systems)، وعلم الأوبئة (Epidemiology)، وعلم المناعة (Immunology)، وعلم وظائف الأعضاء (Physiology)، والشبكات العصبية (Neural Networks). حيث ترتبط الذاكرة (Memory)، في النماذج الرياضية للفترات الزمنية، لتمثيل بعض العمليات الخفية مثل مراحل دورة الحياة؛ وكذلك الوقت اللازم إصابة الخلية وإنتاج فيروسات جديدة، والمدة الزمنية للفترات المعدية، والفترات المناعية. والجدير بالذكر انه في المعادلات التفاضلية العادية، يتم تقييم الحالة المتغيرات (State Variables) ومشتقاتها في الوقت اللآني (Current Time) ولكن في المعادلات التفاضلية ذات الذاكرة DDEs، يعتمد تطور النظام في الوقت الآني وعلى التاريخ / الذاكرة الماضية (Memory/History). إدخال مثل هذه التأخيرات الزمنية في نموذج رياضي تفاضلي يحسن بشكل كبير ديناميكيات النموذج ومرونته لتمثيل الأنظمة المعقدة في علوم الحياة.

من المعلوم أن الظواهر الطبيعية قد تواجه بعض الاضطرابات البیئیة العشوائیة (Environmental Stochastic Perturbations/Noise)، مثل تأثير تغيرات الطقس ودرجات الحرارة، الرطوبة وإلخ إلخ، وعادة هذه الظواهر لا تتبع القوانين القطعية ولكنها تتأرجح بشكل عشوائي حول بعض القيم المتوسطة، حيث تتأرجح الكثافة السكانية ولا تصل أبذا إلى قيمة ثابتة مع تقدم الوقت. وبناءً على ذلك، نقترح في هذه الرسالة بعض النماذج الرياضية باستخدام المعادلات التفاضلية العشوائية ذات الذاكرة (SDDEs) وذلك لتمثيل ونمذجة بعض الظواهر الطبيعية في علوم البيئة والحياة، حيث أنها توفردرجات إضافية من الواقعية مقارنة بنظيراتها غير العشوائي (Deterministic). ويمكن اعتبار المعادلات التفاضلية العشوائية ذات الذاكرة SDDEs بمثابة تعميم المعادلات التفاضلية العشوائية (Stochastic Differential Equations, SDDEs) والمعادلات التفاضلية ذات الذاكرة. حيث تقدم هذه الأطروحة دراسة موسعة عن السمات والخصائص النوعية والكمية (Qualitative and Quantitative Features) للمعادلات التفاضلية الحتمية والعشوائية ذات الذاكرة وتطبيقاتها المهمة والمتعددة في علوم البيئة وانتشار والأوبئة.

تتكون هذه الأطروحة من ثمانية فصول، يقدم الفصل الأول مقدمة عامة للرسالة وأهمية لهذه الدراسة. ويخصص الفصل الثاني لدراسة الخصائص النوعية لأنظمة الفريسة والمفترس (Prey-Predator Systems) في حالة الصيد مع وجود تعاون بين الحيوانات المفترسة وذلك باستخدام نماذج DDEs. يتعامل الفصل الثالث مع ديناميكيات DDEs، من الفترات الزمنية المتعددة، لأنظمة الفريسة والمفترس، حيث يكون نمو كلتا الفريستين عرضة لتأثيرات Allee، وهناك منافسة مباشرة بين الأنواع ذات الفريسة التي لديها مفترس مشترك. يقدم الفصل الرابع دراسة عن ديناميكيات المعادلات التفاضلية العشوائية ذات الذاكرة SDDEs لنظام لنظام المفترس الفريسة. حيث تم التحقق من وجود وتفرد الحل الإيجابي، بالإضافة إلى التوصل لبعض الشروط الكافية لوجود وانقراض الفريسة والمفترس. الفصل الخامس مكرس لدراسة أنظمة الفريسة والمفترس ذات الأنواع الثلاثة مع وجود تعاون بين أنواع الفرائس وذلك باستخدام نماذج DDEs. حيث تبين أنه يمكن للضوضاء العشوائية أن تكبح انفجار الأنواع، في حالة كونها غير محدودة في النظام الحتمي. الفصل السادس، يتناول دراسة نموذج SIRC الوبائي العشوائي مع التأخيرات الزمنية وذلك لدراسة ديناميكية انتشار فيروس كورونا-2 (COVID-19) داخل المجتمع. حيث تم استنباط الشروط اللازمة للوصول إلى حالة الاستقرار وإمكانية السيطرة على انتشار المرض. يقدم الفصل السابع دراسة الحلول العددية والتقريبية للمعادلات التفاضلية العشوائية (SDDEs) والشروط اللازمة لاستقرار الحلول التقربية، بينما يلخص الفصل الثامن ما توصلنا إليه من اهم ألنتائج والإتجاهات المستقبلية للبحث.

تظھر النتائج التي توصلنا إلیھا، نظریًا وعددیاً، أفضلیة المعادلات التفاضلیة العشوائیة ذات الذاكرة (SDDEs) على غيرها من النماذج الرياضية الأخرى، ، حيث لها تأثير كبير في ديناميكيات الأنظمة البيئية والبيولوجية. كما أن لها دوراً مهماً في التوازن والإستقرار البيئي للكئنات الحية. حيث ثبت أن وجو\ الضجيج الطفيف (Small Noise)، يعزز بقاء الكائنات الحية (Persisting)؛ أما في حين وجود الضجيج الكبير يمكن أن يؤدي إلى انقراض (Extinction) بعض الأنواع (some species). كما وجد أن الاضطرابات العشوائية البيئية مفيدة وجانب حتمي مؤثر على ديناميكيات أي نظام، كما أنه له دور فعال لقمع انفجار سكاني محتمل. ومن ثم، استخدام المعادلات التفاضلية العشوائية ذات الذاكرة في نمذجة ديناميكيات السكان وديناميكية وانتشار الأوبئة أفضل من غيرها من النماذج الرياضية الأخرى التي تفتقد الذاكرة والاضطرابات العشوائية.