Hala Alaqad

Date of Award

6-2020

Document Type

Dissertation

Degree Name

Doctor of Philosophy (PhD)

Department

Mathematical Sciences

First Advisor

Jianhua Gong

Second Advisor

Farrukh Mukhamedov

Abstract

Recent advances in geometry have shown the wide application of hyperbolic geometry not only in Mathematics but also in real-world applications. As in two dimensions, it is now clear that most three-dimensional objects (configuration spaces and manifolds) are modelled on hyperbolic geometry. This point of view explains a great many things from large-scale cosmological phenomena, such as the shape of the universe, right down to the symmetries of groups and geometric objects, and various physical theories. Kleinian groups are basically discrete groups of isometries associated with tessellations of hyperbolic space. They form the fundamental groups of hyperbolic manifolds. Over the last few decades, the theory of Kleinian groups has. flourished because of its intimate connections with low-dimensional topology and geometry, especially with three-manifold theory.

The universal constraints for Kleinian groups in part arise from a novel description of the moduli spaces of discrete groups and generalize known universal constraints for Fuchsian groups - discrete subgroups of isometries of the hyperbolic plane. These generalizations will underpin a new understanding of the geometry and topology of hyperbolic three-manifolds and their associated singular spaces, hyperbolic three-orbifolds.

The novel approach in this dissertation is to use a fundamental result concerning spaces of finitely generated Kleinian groups: they are closed in the topology of algebraic convergence. Indeed, this is also true in higher dimensions when minor additional and necessary conditions are imposed. For instance, giving a uniform bound on the torsion in a sequence, or asking that the limit set is in geometric position. In fact, this property holds more generally for groups of isometries of negatively curved metrics because of the Margulis-Gromov lemma. In particular, new polynomial trace identities in the Lie group SL(2; C) are discovered to expose various quantifiable inequalities (including Jørgensen’s inequality) in a more general setting for Kleinian groups and the geometry of associated three-manifolds. This approach offers further substantive advances to address the quite complicated analytic and topological properties of hyperbolic orbifolds, thereby advancing the solutions to important unsolved problems.

Comments

أظهرت التطورات الحديثة في الهندسة العديد من التطبيقات للهندسة الزائدية ليست في الرياضيات فحسب لكن أيضا في التطبيقات الحياتية. كما هو الحال في الأبعاد الثنائية، فقد أصبح من الواضح الآن أن معظم الأشياء ثلاثية الأبعاد (مساحات التكوين والمشعبات) يمكن نمذجتها في الهندسة الزائدية. فهذا الأمر يشرح العديد من الظواهر الكونية واسعة النطاق. فعلى سبيل المثال شكل الكون، وصولًا إلى تماثل المجموعات والأشياء الهندسية والنظريات الفيزيائية المختلفة. زمر كلاينين يمكن وصفها ببساطة على إنها زمر منفصلة من القياسات المترافقة مع جزيئات الفضاء الزائدي، وتشكل الزمر الأساسية من المشعبات الزائدية. فعلى مدى العقود القليلة الماضية، ازدهرت نظرية زمر كلاينين بسبب روابطها الوثيقة مع التبولوجيا ذات الأبعاد المنخفضة والهندسة، وخاصة مع نظرية المشعب الثلاثي.

تنشأ القيود العالمية لزمر الكلاينين من وصف جديد للفراغات المعيارية للمجموعات المنفصلة ومن تعميم القيود الشاملة لزمر الفيوجين والتي هي عبارة عن زمر جزئية منفصلة من قياسات المستوى الزائدي. هذه التعميمات ستدعم الفهم الجديد للهندسة وتبولوجيا المشعبات الثلاثة الزائدية والمساحات المفردة المرتبطة بها، والمزدوجات المدارية الزائدية الثلاثية.

الطريقة الجديدة في هذه الأطروحة هي استخدام نتيجة أساسية تتعلق بفراغات زمر الكلاينين التي تم إنشاؤها بشكل نهائي: فهي مغلقة في توبولوجيا التقارب الجبرية. هذا الأمر صحيح أيضا في الأبعاد العليا عندما يتم فرض شروط إضافية، فعلى سبيل المثال إعطاء حد موحد للالتواء في متسلسلة، أو طلب أن يكون نهاية المجموعة في وضع هندسي. في الحقيقة، هذه الخاصية تتحقق بشكل أعم لزمرمن القياسات ذات المقاييس المنحنية سلبًا بسبب نتيجة مارجوليس-غروموفزسينهوس. على وجه الخصوص، أنشأنا هويات تتبع جديدة متعددة الحدود في زمر لي شبة البسيطة لكشف متباينات مختلفة قابلة للقياس الكمي )بما في ذلك متباينة Jørgensen ) في وضع أكثرعمومية لزمر الكلاينين والهندسة من ثلاثة مشعبات مرتبطة. يقدم هذا النهج تقدمًا جوهريًا إضافيًا لمعالجة الخصائص التحليلية التبولوجية المعقدة تمامًا للمجموعات المدارية الزائدية، وبالتالي تطوير حلول للمشكلات المهمة التي لم يتم حلها.

Download

Share

COinS