Date of Award

11-2024

Document Type

Thesis

Degree Name

Master of Science in Mathematics

Department

Mathematical Sciences

First Advisor

Salem Ben Said

Abstract

This thesis presents a comprehensive study of the fractional Dunkl-type Laplacian operator (−∥x∥ Δ𝑘)σ for 0<σ<1, through four equivalent key characterizations: the heat semigroup characterization, the pointwise characterization, the spherical mean characterization, and through an extension theorem. These characterizations offer different perspectives on the operator ∥x∥Δ𝑘, generalizing known results for the Euclidean Laplace operator by incorporating reflection symmetries, making it highly relevant in the harmonic analysis of root systems.

By exploring these characterizations, the thesis highlights the deep connections between the fractional operator (−∥x∥Δ𝑘)σ and harmonic analysis, as well as its broader applicability in mathematical physics and partial differential equations.

Arabic Abstract


على اللابلاس الكسري من نوع دونكل

تقدم هذه الأطروحة دراسة شاملة لمؤثر لابلاس الكسري من نوع دونكل (−∥x∥ Δ𝑘)σحيث 0<σ<1. مركزة على أربع طرق رئيسية للتوصيف المكافئ نهج شبه المجموعة الحرارية (Heat semigroup)، الصيغة الموضعية (Pointwise)، تمثيل المتوسط الكروي (Spherical mean)، وأيضاً نظرية التمديد (Extension). تم تخصيص جزء كبير من الأطروحة لنظرية التمديد، حيث اثبتنا نظرية التمديد باتباع نهج كافاريلي وسيلفستر للابلاسيان الاقليدي (Euclidean Laplace)، كما أن (−∥x∥Δ𝑘)σيمكن أن يميز كمؤثر ينقل شرط حدود ديريشلي الى شرط من نوع نويومان عبر حل مشكلة معادلة تفاضلية جزئية للتمديد.

علاوة على ذلك، تم إثبات صيغة بُسُن للتمديد الموجودة في جزئية نظرية التمديد باستخدام معامل بسن. توفر هذه التوصيفات الأربعة رؤى مميزة حول المؤثر ∥x∥Δ𝑘حيث يتم تمديد نتائج لابلاس الإقليدية لتشمل تناظرات الانعكاس والكشف عن الروابط بين المؤثر الكسري (−∥x∥Δ𝑘)σ، والتحليل التوافقي وتطبيقاتهما في الفيزياء الرياضية و المعادلات التفاضلية الجزئية.

Download

Included in

Mathematics Commons

COinS