## Theses

4-2015

Thesis

#### Degree Name

Master of Science (MS)

#### Department

Mathematical Sciences

Fathi M Allan

Muhammed Syam

#### Third Advisor

Dr. Hishyar Abdullah

#### Abstract

Analytical solutions of differential equations are very important for all researchers from different discipline. Obtaining such solutions is difficult in most cases, especially if the differential equation is nonlinear. One of the mostly used methods are the series methods, where the solution is represented as an infinite series. Different methods are available to evaluate the terms of this series. These methods include the well-known Taylor series method, the Adomian decomposition method, the Homotopy iteration method, and the Homotopy analysis method. In this thesis we give a survey of the different series methods available to solve initial and boundary value problems. The methods to be presented are the Taylor series method, the Adomina decomposition method, and the Homotopy analysis method. The main features of each method will be presented and the error analysis will be discussed as well. For the Homotopy analysis method, the error is controlled by introducing the parameter known as ℏ, then the error is controlled by monitoring the value of the solution at a specific point for different values of ℏ. This produces what is known as the ℏ curve. The mathematical foundation of this method is not very well established, and the method will not work at all times. The error for the Taylor series and the Adomian decomposition method is controlled by adding more terms to the series solution which might be costly and difficult to calculate especially if the differential equation is nonlinear. In this study we will show that the error can be controlled by other means. A modified Taylor series method has been developed and will be discussed. The method is based on controlling the error through different choices of the point of expansion. The mathematical foundation of the method and application of the method to differential equations with singularities and eigenvalue problems will be presented.

#### Comments

الحلول التحليلية للمعادلات التفاضلية مهمة جدا لجميع الباحثين من مختلف المجالات العلمية و من الصعب الحصول على مثل هذه الحلول في معظم الحالات، خاصة إذا كانت المعادلة التفاضلية لاخطية. من هذه ألطرائق المتبعة طريقة المتسلسلات اللامنتهية, حيث يتم تمثيل الحل باعتباره سلسلة لا نهاية لها. ومن هذه ألطرائق المعروفة طريقة سلسلة تايلور، وطريقة أدوميان التحليلية ، وطريقة هوموتوبي المتكرره والتحليلية. في هذه الأطروحة سنقدم عرضا لمجموعة من هذه ألطرائق بالاخص طريقة سلسلة تايلور، وطريقة أدوميان التحليلية وطريقة هوموتوبي التحليلية. وستعرض السمات الرئيسية لكل طريقة وسيتم مناقشة تحليل الخطأ أيضا. بالنسبة لطريقة الهوموتوبي التحليلية ، يتم التحكم بالخطأ عن طريق إدخال المعلمة المعروفة باسم ℏ ، ثم يتم التحكم بالخطأ من خلال رصد قيمة الحل عند نقطة محددة باستخدام قيم مختلفة من ℏ ، مما ينتج عنه ما يعرف بمنحنى ℏ. التعليل الرياضي لهذه الطريقة ما زال غير مكتمل، وهذه الطريقة لا تعمل في بعض الحالات. بينما يتم التحكم بالخطأ لسلسلة تايلور وطريقة أدوميان التحليلية بإضافة مزيد من الحدود للسلسلة التي قد تكون مكلفة وصعبة الحساب خاصة إذا كانت المعادلة التفاضلية لاخطية. في هذه الدراسة سوف نظهر أن الخطأ يمكن السيطرة عليه بوسائل أخرى. وقد تم تطوير طريقة تعديل سلسلة تايلور وسيتم مناقشتها. وتستند هذه الطريقة على السيطرة على الخطأ من خلال خيارات مختلفة للنقطة التي يتم ايجاد السلسله حولها . وسنعرض التحليل الرياضي لهذه الطريقة وتطبيقها على المعادلات التفاضليةالحديه والمعادلات التفاضليه ذات القيم الذاتية.

COinS